Gabriele Baldassarre

La quantità di moto e l'impulso (fisica classica)

Sat, 08 May 2021 00:00:00 +0000

Come quasi tutti ricorderanno dalla fisica studiata a scuola, Newton ci ha insegnato che la quantità di moto è una grandezza vettoriale data dal prodotto della massa del corpo per la sua velocità e si indica con p:

\[\vec{p} = m\vec{v}\]

e si misura, di conseguenza, in $[kg][m]/[s]$. Viene, talvolta, anche chiamato momento lineare anche se, tecnicamente, non si tratta del momento di un vettore. Questa dicitura è un anglicismo dovuto al fatto che la quantità di moto in inglese è chiamata momentum. E questa è una prima causa di confusione, dato che in italiano il momento meccanico, o coppia di forze, è un concetto totalmente distinto (e che, in inglese, si dice moment o torque, appunto). È una grandezza vettoriale che ha direzione e verso del vettore velocità e modulo pari al modulo della velocità moltiplicato per la massa (che è una grandezza scalare sempre positiva).

Dalla meccanica classica, sappiamo che un corpo in movimento imprime una forza sul corpo che tenti di fermarlo. Tanto maggiori sono la massa e la velocità del corpo in movimento, tanto maggiore è la forza impressa. Per questo motivo un proiettile, che pur avendo inerzia ridotta per via della sua piccola massa, ma gran velocità, quando colpisce una piccola area di tessuto trasferisce una forza tale da generare molti danni (ma non abbastanza da far sbalzare violentemente il corpo del cattivo sulla vetrata retrostante così da farlo precipitare su una inferriata appuntita, come si vede nei film d’azione). Ugualmente, urtare contro un camion di grande massa, anche se si muove lentamente, ci provocherà ben più di un mal di testa.

Ebbene, questo fenomeno è ben espresso dalla quantità di moto che, in effetti, per la seconda legge della dinamica, può essere espressa anche in $[N][s]$ e quindi rappresentare la forza trasferita per unità di tempo.

Ma qual’è questa forza impressa?

Per rispondere a questa domanda, supponiamo che un corpo di massa $m$ e avente velocità iniziale $v_i$ subisca una forza per un intervallo di tempo t durante il quale ha un’accelerazione che lo porta alla velocità finale $v_f$ (ignoriamo tutti gli effetti di attrito sul sistema): Abbiamo quindi le quantità di moto iniziale

\[\vec{p_i} = m\vec{v_i}\]

e finale

\[\vec{p_f} = m\vec{v_f}\]

Pertanto, la variazione per unità di tempo della quantità di moto sarà:

\[\frac{\vec{p_f} - \vec{p_i}}{t} = \frac{m\vec{v_f} - m\vec{v_i}}{t} = m\frac{\vec{v_f} - \vec{v_i}}{t}\]

Passando alle variazioni infinitesime

\[\frac{d\vec{p}}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt}\]

Poiché la variazione di velocità nell’intervallo di tempo infinitesimo rappresenta l’accelerazione, al secondo membro possiamo sostituire con la forza $\vec{F}$ e quindi:

\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\]

Ovvero, la forza che agisce su un corpo produce una variazione della quantità di moto dello stesso. È una formulazione più generale della seconda legge del moto che tiene conto anche delle situazioni in cui la massa del corpo in moto varia, come ad esempio un razzo lanciato verso lo spazio, che brucia carburante riducendo la sua massa complessiva.

In questo caso, il secondo principio della dinamica andrebbe più correttamente scritto in forma differenziale (derivata della quantità di moto rispetto al tempo):

\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\]

dove la variazione della quantità di moto può rappresentare una variazione di velocità, di massa, o entrambe. Se la massa non varia, essa è costante rispetto alla derivazione per il tempo:

\[\vec{F} = m\frac{d\vec{v}}{dt} = m\vec{a}\]

che è quanto già sappiamo.

L’impulso

L’impulso è un’altra grandezza molto utile in fisica classica: rappresenta la quantità di moto effettivamente trasmessa da un corpo all’altro a seguito di un urto o, più in generale, gli effetti di una forza che agisce per un intervallo di tempo molto piccolo rispetto all’intero fenomeno osservato (sarebbe più corretto dire che un urto tra due corpi rigidi comporta l’intervento di una forza impulsiva). Ad esempio, un tennista che colpisce una pallina durante il servizio, imprime alla stessa una forza molto intensa e vi trasferisce una grande quantità di moto in un intervallo molto breve. Oppure la polvere da sparo che, esplodendo, causa l’espulsione del proiettile ad alta velocità dalla canna della pistola in pochi centesimi di secondo, e così via.

Poiché le forze di questo tipo non sono costanti nel tempo, pur agendo per intervalli di tempo molto piccoli, in questi casi, più che con il secondo principio della dinamica è conveniente lavorare con una quantità che è il prodotto tra la forza agente e l’intervallo in cui agisce. L’impulso, appunto.

\[\vec{I} = \vec{F}\Delta t\]

Questa grandezza, come si può vedere, si misura in [N][s], come la quantità di moto. Rappresenta, come dicevamo, la quantità di moto trasmessa da una cosiddetta forza impulsiva. Questo è l’enunciato del cosiddetto teorema dell’impulso:

\[\vec{I} = \Delta \vec{p}\]

Quando la forza varia nel tempo, ha variazioni infinitesime:

\[\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}\]

Integrando ambo i membri nell’intervallo di azione della forza abbiamo l’impulso:

\[\Delta p = \int_{t_1}^{t^2} Fdt\]

Che cos'è l'elettronvolt

Thu, 06 May 2021 00:00:00 +0000

L’elettronvolt (simbolo eV) è un’unità di misura dell’energia particolarmente adatta, per via del suo valore, a misurarne i valori su scale atomiche e subatomiche. In pratica, esso coincide con il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica agente su un elettrone che si muove nel vuoto in un campo elettromagnetico quando la particella si sposta da un punto iniziale e finale aventi differenza di potenziale di 1 Volt. È, quindi, l’energia cinetica guadagnata (o persa) dall’elettrone accelerato dal campo caratterizzato da quel potenziale.

Poiché il lavoro del campo elettromagnetico è dato dal prodotto del potenziale per la carica e la carica dell’elettrone è pari a $e = 1,602\times10^{-19}C$:

\[1V = \frac{1J}{1C} \Rightarrow 1eV = \frac{1J}{1C}(1,602\times10^{-19}C) = \bbox[5px, border:1px solid black] {1,602\times10^{-19}J}\]

Ricordando come 1 J sia il lavoro compiuto da una forza per spostare una massa di 1kg per un metro (o in alternativa di sollevare a 1m di altezza una massa di poco più di 100gr soggetta alla gravità terrestre), ne consegue che un elettronvolt sia una quantità di energia molto piccola. Per questo motivo, spesso si utilizza uno dei suoi multipli come il megaelettronvolt (MeV) o il gigaelettronvolt (GeV), soprattutto quando si utilizzà l’elettronvolt come unità di misura per la massa.

Ciò che, infatti, genera più spesso confusione nell’uso dell’elettronvolt è il fatto che, soprattutto in fisica delle alte energia, questo sia utilizzato anche come unità di misura per la massa. Ricorderete, infatti, che quando fu scoperto il Bosone di Higgs, i ricercatori dichiararono di averlo “trovato” all’incirca dove si aspettavano che fosse, ovvero avente una massa di circa $125 GeV/c^2$. Cosa significa questo?

Per rispondere alla domanda, vediamo la definizione dimensionale dell’energia:

\[[J] = \frac{[kg][m]^2}{[s]^2}\]

se si divide per la dimensione della velocità $[m]/[s]$ si ottiene:

\[[J] = \frac{[kg][m]}{[s]}\]

che è la dimensione della quantità di moto. Quindi, dividendo l’energia espressa in eV per c, quello che otteniamo è effettivamente una quantità di moto espressa in eV/c.

Andando ora a dividere l’espressione ancora una volta per la velocità. Nell’equazione dimensionale rimane solo la misura della m massa. Quindi, per misurare la massa si può usare come unità di misura $eV/c^2$.

Ma perché proprio c?

Per rispondere a questa domanda, basti ricordare l’equazione dell’equivalenza di massa-energia, ovvero la famosissima $E = mc^2$ della relatività ristretta, che esprime il legame tra la massa a riposo e l’energia, attraverso la costante rappresentata dalla velocità della luce nel vuoto. Dimensionalmente, i conti tornano: $eV/c^2$ è una massa.

Facciamo un esempio. L’equivalente in massa di 1eV è:

\[1eV/c^2 = \frac{1eV}{c^2} = \frac{1,602 \times 10^{-19}}{(2,99 \times 10^8)^2} = \bbox[5px, border:1px solid black] {1,78 \times 10^{-36} kg}\]

Ad esempio, la massa dell’elettrone:

\[m_e = 9,109 \times 10^{-31} kg = \frac{9,109 \times 10^{-31}}{1,78 \times 10^{-36}} = 0,511 \times 10^6 eV/c^2 = 0,511 MeV/c^2\]

Per creare un elettrone è quindi necessario spendere $0,511 MeV$ di energia, o, in altri termini, l’annichilimento dell’elettrone provoca l’emissione di $0,511 MeV$ di energia).

C’è da dire, infine, che soprattutto in fisica teorica, per semplificare la notazione (e i calcoli) i fisici usano un sistema di riferimento in cui la velocità della luce del vuoto c è adimensionale e pari a 1. In questi sistemi, chiaramente, l’unità di misura della massa diventa semplicemente l’eV. Quando anche la costante di Plank ridotta ħ è adimensionale e pari ad uno, anche spazio e tempo sono esprimibili con l’inverso dell’energia, cioè $eV^{-1}$, e quindi l’elettronvolt, in questi sistemi, può esprimere anche distanze e intervalli di tempo.

Il teorema dell'energia cinetica

Wed, 06 Nov 2019 00:00:00 +0000

All’atto pratico, come l’elettromagnetismo parte dalle leggi di Maxwell, la dinamica classica parte dalle equazioni di Lagrange, che a loro volta sono semplicemente una riscrittura delle leggi di Newton in forma generale e universale, cioè che non dipende dal sistema di riferimento e di coordinate (es. cartesiane o polari), ottenibile mediante la derivazione di un’unica funzione scalare, chiamata appunto lagrangiana.

Questo aspetto, attraverso la formulazione hamiltoniana che ne deriva e che vedremo successivamente, è essenziale in meccanica quantistica perché mette in luce il formalismo algebrico della cinematica e della dinamica, formalismo utilizzato più volte nella teoria. Quindi ci tocca sbatterci un po’ la testa, temo.

Ma prima di cominciare, ci serve qualche nozione iniziale.

Partiamo da Newton

Supponiamo di avere un sistema in cui un punto materiale si muove, rispetto ad esso, di moto rettilineo uniforme. In questo sistema, più specificatamente chiamato sistema di riferimento inerziale vale la legge di Netwon che ne regola il movimento:

\[ma = F\]

e, più in generale con N punti materiali vale per ognuno:

\[m_ka_k = F_k (k=1,\dots N)\]

Poiché l’accelerazione è la derivata seconda della posizione, ne consegue che la legge di Newton non è una equazione qualunque, ma è una equazione differenziale di secondo ordine dove l’incognita è x(t) e dove vi compare, nell’equazione anche attraverso le sue derivate:

\[\dot{x}(t) = \frac{dx}{dt}(t), \ddot{x}(t) = \frac{d^2x}{dt^2}(t)\]

che ci consentono di esprimere l’equazione di Newton in forma esplicitamente differenziale:

\[\ddot{x}(t) = \frac{1}{m}F(x, \dot{x}, t)\]

Il principio di determinismo che regola la meccanica classica ci consene di scrivere che, assegnata una forza F, ogni soluzione dell’equzione di Newton è univocamente individuata dalle condizioni iniziali del sistema.

\[x(0) = x_0, \dot{x} = v_0\]

ovvero la posizione e la velocità iniziale a $t_0$.

Il motivo per cui Newton ritenne che il moto fosse determinato dalla posizione e dalla velocità iniziali è dovuto al fatto che l’equazione fosse descrivibile mediante sviluppo in serie e, pertanto, come soluzione di certe equazioni differenziali con particolari scelte dei dati iniziali (per i quali è anche possibile estrarre il relativo ritratto). È il teorema di Cauchy-Kowalewska, ma avrò pietà e non lo approfondiremo in questa sede. Piuttosto,c ominciamo a parlare di energia.

Il teorema dell’energia

Supponiamo di avere un sistema composto da un unico punto materiale soggetto a una forza F(x, v, t), ovvero genericamente dipendente dalla velocità, dalla posizione nello spazio e dal tempo. Il teorema dell’energia cinetica afferma che l’energia cinetica posseduta da un corpo è pari all’energia cinetica iniziale più il lavoro compiuto da una forza che agisce sul corpo stesso lungo una determinata traiettoria.

In termini meccanici, l’energia cinetica T è espressa come:

\[T = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv v\]

che, derivato rispetto al tempo,

\[\frac{d}{dt}\frac{1}{2}m(v v) = 2v m\frac{dv}{dt} = ma \Rightarrow\] \[\dot{T} = F v \tag{*}\]

La detivata $\dot{T}$ dell’energia rappresenta la potenza della forza mentre la forma integrale

\[T(t_1) - T(t_0) = \int_{t_0}^{t_1} Fv dt \tag{**}\]

è il lavoro della forza.

Quindi, come volevasi dimostrare, le due forme (*) e (**), ovvero le forme differenziale e integrale dell’espressione, ci consentono di affermare che:

Il tasso di variazione dell’energia cinetica è pari alla potenza della forza;
La variazione netta dell’energia cinetica è pari al lavoro della forza.

Ovviamente stiamo assumendo che (come avviene nella stragrande maggioranza dei casi) la massa m sia costante; per la legge di Newton, la forza impressa sul corpo ne farà variare solo la velocità.

Supponiamo che sul corpo agisca una forza posizionale; non, quindi, una generica forza $F(x, v, t)$, ma una forza che dipende solo dalla posizione nello spazio in cui è applicata $F = F(x)$. Poiché la foza permea, con la sua distribuzione, tutto lo spazio genera, appunto, un campo vettoriale di forze (ovvero una legge che assegna una forza meccanica ad ogni punto dello spazio).

In questa circostanza, l’integrale in (**) dipende solo dalla traiettoria seguita dal punto materiale nell’intervallo di tempo $t_0, t_1$; chiamiamo questa traiettoria $\gamma$.

\[T(t_1) - T(t_0) = \int_{\gamma}{F(x) dx}\]

(perché data la funzione di movimento $x = x(t)$, all’incremento infinitesimo si ha $dx = vdt$).

Se il campo di forze oltre a essere posizionale è conservativo, si dice che la funzione ammette potenziale, cioè che esiste una funzione $V(t)$ tale che

\[F = -gradV \Rightarrow F_x = -\frac{dV}{dx}, F_y = -\frac{dV}{dy}, F_z = -\frac{dV}{dz}\]

La funzione V è chiamata energia potenziale e il campo è definito conservativo perché in queste condizioni vale la legge di conservazione dell’energia (o Teorema dell’Energia) che dice che, chiamata energia la quntità

\[E = T + V\]

(cioè la somma di energia cinetica e potenziale)

per un qualunque movimento $x = x(t)$ soluzione dell’equazione di Newton $ma = F$, si ha

\[\dot{E} = 0\]

Questo è vero nella misura in cui

\[Fv = -\frac{dV}{dt} \frac{dx}{dt} = -\frac{dV}{dt} = -\dot{V}\]

Sostituendo nel teorema dell’energia cinetica visto a inizio paragrafo

\[\dot{T} = Fv \Rightarrow \dot{T} = -\dot{V} \Rightarrow\] \[\frac{d}{dt}(T + V) = 0\]

Per come è formulato, il Teorema dell’Energia vale per forze che variano nello spazio con legge x(t) ed è, inoltre, una legge invariante. Al variare del sistema di riferimento inerziale considerato, infatti, variano le espressioni per l’energia, ma il suo gradiente complessivo è sempre identicamente nullo, così come può variare l’espressione per il lavoro, ma esso rappresenta, sempre e in ogni sistema, l’energia trasferita da un corpo a un altro attraverso l’applicazione di una forza.

Le costanti di moto

L’energia, essendo una quantità dinamica, è una funzione definita nello spazio degli stati $E = E(x, v)$ e, poiché, in ogni punto dello spazio degli stati passa un unico vettore (originato dalle condizioni iniziali $$ x_0, v_0) che è soluzione dell’equazione di Newton, allora si può esplicitare la dipendenza

\[E(t) = E(x(t), v(t))\]

che, derivata rispetto al tempo ricordando che $E = T(v) + V(x)$

\[\dot{E} = \frac{dT}{dv}a + \frac{dV}{dx}v = mva - Fv = v(ma - F) = 0\]

(il valore della precedente è zero perché ci muoviamo nel luogo delle soluzioni dell’equazione di Newton)

Le variabili dinamiche che godo di questa proprietà di invarianza rispetto a un movimento (in un sistema inerziale) sono dette costanti di moto. L’energia E, che mantiene inalterato il proprio valore lungo qualsiasi movimento $x = x(t)$ che sono soluzioni dell’equazione di Newton è, evidentemente, una di esse.

Costanti di moto e ritratti in fase

Come abbiamo detto in un precedente articolo, il ritratto in fase “fotografa” la dinamica del sistema (x, v) a partire dalle diverse condizioni iniziali $(x_0, v_0)$. Questi valori iniziali, a loro volta, determinano un valore iniziale invariante di energia $E_0$, tant’è che il principio di conservazione dell’energia fa riferimento proprio a questo valore iniziale di energia, ovvero

\[E = T + V = E_0\]

Questo significa che i movimenti nel ritratto in fase sono distribuiti in “fogli” stratificati sui diversi livelli di energia iniziale, invariante, $E_0$. Per questo motivo, queste superfici sul diagramma delle fasi sono chiamate superfici di livello dell’energia.

Ora, non voglio insistere nella trattazione di argomenti di meccanica, ma questo formalismo razionale ci sarà utile in ambito hamiltoniano. Che, a sua volta, ci consente di trovare una correlazione nel corrispettivo concetto quantistico, tutt’altro che intuitivo.

Prendete, quindi, questo articolo come un ostico, ma utile, approfondimento formale per meglio capire i concetti che verranno in seguito. E possiate perdonarmi!

Lo spazio degli stati

Thu, 31 Oct 2019 00:00:00 +0000

Supponiamo di voler studiare la dinamica di un sistema inerziale composto da un singolo punto materiale in moto nello spazio. In quanto tale, suddetto punto e soggetto alla legge del moto di Newton:

\[ma = F\]

La dinamica di questo sistema inerziale è rappresentata dal movimento del punto materiale, ovvero l’incognita è rappresentata dalla posizione del punto nel tempo:

\[x = x(t)\]

Il che ci porta a concludere che la legge di Newton non solo è una equazione funzionale, ma è anche una equazione differenziale ordinaria di secondo ordine, perché l’incognita (la posizione) vi compare con il termine di derivata seconda (l’accelerazione, ricordando che $a(t) = \ddot{x(t)})$). In quanto tale, risolverla analiticamente è quasi sempre molto complicato e in ogni caso dipende molto dalla complessità del sistema.

Poiché ogni soluzione dell’equazione di Newton è individuata da una coppia di vettori (e dalle rispettive condizioni iniziali di posizione $x_0$ e velocità $v_0$), l’intera dinamica del sistema è descrivibile come l’insieme di tutte le coppie ordinate {x, v}, che individuano uno spazio vettoriale in $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3$. Lo spazio generato da questo prodotto cartesiano descrive ogni possibile stato dinamico del sistema e prende il nome, per l’appunto, di spazio degli stati o spazio delle fasi.

Nel caso specifico, fissata una forza F come una ben definita funzione delle condizioni iniziali e, genericamente, dal tempo t, ovvero F(x, v, t), esiste una e una sola soluzione all’equazione di Newton che al tempo iniziale $t_0$ parte da un punto ${x_0, v_0}$ dello spazio delle fasi e che determina l’evoluzione futura del sistema lungo t secondo le leggi della meccanica (l’equazione differenziale del moto).

L’evoluzione del sistema altri non è che una successione di punti nello spazio delle fasi o, se il sistema è continuo, una curva avente come tangente in ogni punto il vettore le cui componenti sono i due vettori {x, v} al variare di t.

Questo consente di poter visualizzare lo spazio degli stati in un diagramma chiamato ritratto di fase in cui andare a disegnare tutte le possibili traiettorie del sistema (in che stato il sistema evolverà al variare di t) e definirne qualitativamente le peculiarità.

Ma forse è il caso di fare un esempio.

Il pendolo ideale

Innanzitutto una precisazione. Il concetto di ritratto di fase è del tutto generale e non è legato necessariamente a un sistema meccanico (descritto dalle equazioni del moto di Newton), ma può essere utilizzato su sistemi dinamici di qualsiasi natura e con un numero qualsiasi di dimensioni.

Nulla vieta, per capirci, di descrivere un sistema attraverso l’uso di N variabili, anche infinite, e relative condizioni iniziali in modo da individuare uno spazio di fase in $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^N$. Né siamo costretti a utilizzare vettori reali (in meccanica quantistica, ad esempio, quei vettori sono complessi).

Il problema, più che altro, sta nell’efficacia della rappresentazione di uno spazio degli stati quando la dimensionalità del sistema dinamico cresce.

Tuttavia, in meccanica classica la dinamica è espressa dalle variabili posizionali e dai loro gradienti (più spesso si usa il momento in luogo della velocità, ma la sostanza non cambia perché il momento $p = mv$). Per essere pratici, useremo perciò nel nostro esempio un sistema meccanico caratterizzato da un movimento in una dimensione, così da avere un diagramma di fase facilmente visualizzabile in un piano cartesiano con la posizione sull’asse delle ascisse e il relativo gradiente sull’asse delle ordinate.

Il pendolo ideale si adatta bene allo scopo.

Supponiamo di esprimerne la posizione come l’angolo che forma con il proprio asse verticale $\theta$, quindi in uno spazio in $\mathbb{R}$, e il gradiente attraverso la velocità angolare $\dot{\theta}$.

L’equazione che ne regola il moto armonico è le seguente:

\[\ddot{\theta} = -\frac{g}{l}sin\theta\]

Nell’immagine in basso, possiamo vedere i vari stati che assume il pendolo, in termini di coppie di angolo $\theta$ e velocità angolare $\dot{\theta}$, fissate delle condizioni iniziali per $\theta_0$ e $\dot{\theta_0}$. L’oscillazione del pendolo da destra verso sinistra (per poi tornare indietro) descrive una traiettoria di transizioni di fase che nel ritratto di fase disegna una circonferenza.

Andamento nel tempo e rappresentazione di stato del pendolo ideale scelta una coppia di condizioni iniziali. Si dice ideale in quanto, nel sistema di riferimento inerziale preso in esame, si considerano nulle le forze di attrito. Il pendolo, insomma, continuerà a muoversi all’infinito di moto armonico sul piano xy.

Di fatto, note le condizioni iniziali ed i vettori che determinano le transizioni di stato al variare di t, possiamo prevedere l’evoluzione del sistema e quindi il suo futuro. È il concetto base del determinismo laplaciano, che però studieremo nel dettaglio in uno dei prossimi articoli.

Se, però, non fissiamo una coppia di condizioni iniziali, i vettori di tutte le possibili transizioni di stato vanno a costruire un campo vettoriale che descrive tutti gli stati possibili del sistema: il ritratto di fase vero e proprio. Non offre una soluzione analitica dell’equzione differenziale che regola il moto del sistema (cosa che pure sarebbe stata possibile calcolare nell’esempio specifico del pendolo, ma che in genere è estremamente complicata), ma offre una buona vista di sintesi ed enfatizza la presenza di regioni particolari. Vediamole:

Interpretazione del diagramma

Le traiettorie disegnate rappresentano sette possibili evoluzioni del sistema a partire da altrettante condizioni iniziali, che, ricordiamo, sono i “punti di partenza” e sul diagramma sono rappresentate dai cerchietti. Si notano subito tre regioni particolari:

Le traiettorie in arancione sono caratterizzate da un gradiente di velocità angolare che a un certo punto cambia segno. È il comportamento che subito associamo a un movimento pendolare: il peso che oscilla in avanti fino ad un angolo $\theta_{max}$ (la distanza percorsa nella direzione delle ascisse $\theta$ aumenta), riducendo progressivamente la sua velocità angolare (la traiettoria curva avvicinandosi all’asse delle ascisse) per poi, quando la velocità è zero, tornare indietro. Lo stesso movimento si ha nel verso opposto e così via, con oscillazioni infinite.
Le traiettorie in blu sono caratterizzate da velocità angolari iniziali sufficienti per far girare il pendolo su se stesso (attorno al proprio vincolo). Il pendolo oscilla, perde progressivamente velocità, ma la velocità non è nulla quando $\theta = 180°$, quindi comincia a cadere nella direzione opposta, riprendendo velocità che ha il suo massimo quando $\theta = 0$ per poi ricominciare. La velocità, infatti, non è mai nulla (la traiettoria non interseca mai l’asse delle ascisse).
Le traiettorie in rosso sono gli unici due punti di equilibrio del sistema, che si hanno quando il pendolo ha velocità angolare iniziale nulla e giace sul suo asse in posizione di riposo (con $\theta = 0$ ma anche con $\theta = 180°$).

Il tutto si ripete con periodicità $2 \pi$.

In definitiva dovrebbe essere chiaro il funzionamento di questa rappresentazione e come può essere utile per studiare l’evoluzione dinamica di un sistema, una volta che se ne è determinata la sua rappresentazione in termini di sistema di equazioni differenziali ordinarie.

Giacché non abbiamo risolto suddette equazioni, ne fornisce solo una vista approssimata, eppure la soluzione analitica non avrebbe evidenziato le differenti regioni dinamiche del sistema in modo tanto lampante.

Certo, al crescere dell’ordine del sistema, la visualizzazione diventa complessa e inefficace, per non dire impossibile. Resta, tuttavia, uno strumento prezioso anche per visualizzare mentalmente come un sistema evolve e per spiegare come la sua dinamica è descritta da vettori in un campo. Questo concetto, tra l’altro, risulta essenziale nello studio della Meccanica Quantistica, oltre che ovviamente in Meccanica Razionale.

Prossimamente faremo qualche esempio pratico di realizzazione di ritratti di fase tramite R, visto che esiste un package semplice e intuitivo adatto allo scopo. Alla prossima!

Stati di Spin

Mon, 28 Oct 2019 00:00:00 +0000

Negli articoli precedenti, abbiamo definito lo spazio degli stati di un sistema quantistico come un sistema vettoriale composto da vettori complessi e, come tale, caratterizzato da una direzione, un modulo e un verso (anche se intesi non in senso spaziale). Abbiamo anche visto che una certa impredicibilità è tipica di un sistema quantistico e che la misura stessa, per quanto infinitamente gentile, altera (anzi, come abbiamo detto, prepara) il sistema.

Appurato che i vettori di stato predicono in modo perfettamente deterministico ciò che si può conoscere di un sistema (che, però, non è tutta l’informazione contenuta in un sistema; questo, per via del principio di indeterminazione), abbiamo tutti gli elementi per studiare un sistema concreto.

Quello più facile: uno spin singolo

Introduzione allo spin

Innanzitutto è bene fare una precisazione: quando parliamo di sistema di spin singolo parliamo proprio di uno spin, ovvero una caratteristica intrinseca delle particelle che non ha un corrispettivo nel mondo classico.

Non è quindi lo spin di un elettrone. L’elettrone è la particella subatomica che porta uno spin a spasso per l’Universo. Quindi il sistema che individuano è diverso, e più complicato, di quello (per certi versi astratto) individuato dal solo spin.

E a maggior ragione non è la componente di rotazione dell’elettrone sul proprio asse, anche se spesso si ricorre a questa analogia per meglio rappresentarlo, visto che il vettore di spin può essere visto come un momento angolare magnetico caratterizzato da tre componenti sugli assi spaziali ${x, y, z}$.

Lo spin fu introdotto da Pauli come un’astrazione puramente matematica per descrivere il modello delle particelle quantistiche; non fu mai pensato dallo scienziato come qualcosa di reale, sperimentalmente misurabile. Anzi, quando ne fu effettivamente misurato il valore, Pauli all’inizio non era del tutto certo che la grandezza misurata fosse proprio il suo spin.

Come dicevamo, però, in questa fase ci concentriamo sull’idea astratta di spin, e in particolare sugli stati assunti dal sistema da esso individuato, non dal motivo per cui assume certi valori e non altri, né tantomeno sulla sua natura fisica.

Gli stati di spin lungo z

Come abbiamo detto più volte, condurre una misurazione di una grandezza su un sistema (in questo caso, lo spin) attraverso un apparato A orientato lungo una determinata direzione lascia il sistema su quella direzione, giacché il valore misurato dall’apparato può assumere valori solo $\pm 1$.

Supponiamo di orientare l’apparato A lungo l’asse z e di effettuare una misurazione, per misurare la componente di spin su tale asse. Otteniamo, come ben sappiamo, $\sigma_z = \pm 1$ con uguale probabilità.

Chiamiamo gli stati che hanno determinato tale misurazione come $\vert u \rangle$ (up) e $\vert d \rangle$ (down) a seconda che l’apparato ci abbia restituito +1 o -1.

Adesso orientiamo l’apparato lungo l’asse x per ottenere $\sigma_x = \pm 1$. La misurazione ha lasciato il sistema nello stato $\vert r \rangle$ oppure (righ, +1) $\vert l \rangle$ (left, -1).

Infine, effettuiamo la misura lungo l’asse y. La misurazione in questo caso ha lasciato il sistema nello stato che etichettiamo $\vert i \rangle$ (in, +1) oppure $\vert o \rangle$ (out, -1). In e out, qui, nel senso che entrano o escono dallo schermo, per capirci.

Il fatto che lo spin possa assumere solo due valori, ci suggerisce che tutti i possibili stati di spin possono essere rappresentati da uno spazio vettoriale bidimensionale.

Attenzione! Questo non significa che il sistema-spin ammetta solo due stati, ma che presenta solo due possibili valori misurati. In meccanica quantistica, queste due informazioni non coindono.

Poiché lo spazo degli stati è bidimensionale, scegliamo due vettori qualunque, purché ortogonali, e utilizziamoli come base dello spazio. $\vert u \rangle$ e $\vert d \rangle$ andranno benissimo.

Consideriamo ora un generico vettore di stato $\vert A \rangle$. Esso sarà esprimibile come combinazione lineare dei vettori della base attraverso dei coefficienti che rappresentano le componenti lungo la base stessa:

\[\vert A \rangle = \alpha_u \vert u \rangle + \alpha_d \vert d \rangle\]

Abbiamo visto che possiamo determinare le componenti lungo la base con l’operazione di prodotto interno del vettore di stato A con i vettori della base:

$\alpha_u = \langle A \vert u \rangle \tag{*}$ $\alpha_d = \langle A \vert d \rangle \tag{**}$

Questi coefficienti complessi sono molto importanti perché il loro modulo al quadrato rappresenta una probabilità che, data una misura lungo la direzione della base, lo stato $\vert A \rangle$ sia $\vert u \rangle$ o $\vert d \rangle$.

$P_u = \alpha_u^*\alpha_u$ che $\sigma_z = 1$ ovvero lo spin sia sullo stato $\vert u \rangle$

$P_d = \alpha_d^*\alpha_d$ che $\sigma_z = -1$ ovvero lo spin sia sullo stato $\vert d \rangle$

Per questo motivo i coefficienti $\alpha$ sono chiamati ampiezze di probabilità.

Recuperando (*) e (**) e ricordando che il bra corrispondente a un ket è il suo complesso coniugato:

\[P_u = \langle A \vert u \rangle \langle u \vert A \rangle\] \[P_d = \langle A \vert d \rangle \langle d \vert A \rangle\]

Naturalmente, la somma delle probabilità di tutti gli eventi possibili è uguale a 1:

\[P_u + P_d = 1\]

ma questo significa che

\[\alpha_u^*\alpha_u + \alpha_d^*\alpha_d = 1\]

Poiché l’equazione sopra rappresenta tutti gli stati del sistema, il fatto che la loro somma sia 1 ci porta a completare la definizione di spazio degli stati.

Esso è definito in uno spazio vettoriale complesso di lunghezza unitaria. Tutti i vettori di base sono, pertanto, normalizzati. In più, i moduli al quadrato dei componenti su una base rappresentano le probabilità dei diversi risultati sperimentali ottenibili durante una misura.

La relazione di ortogonalità tra $\vert u \rangle$ e $\vert d \rangle$ è interessante perché significa (e si può provare sperimentalmente) che se uno spin è preparato nello stato up non può trovarsi nello stato down ($P_d = 0$) e viceversa. Stati ortogonali rappresentano stati fisici sperimentalmente distinti, senza alcuna ambiguità.

Se un apparato A orientato lungo l’asse z misura $\sigma_z = 1$, non vi è alcuna probabilità che lo stato sia $\vert d \rangle$. Lo stato è certamente up ed esperimenti ripetuti confermano la misurazione perché $P_d = 0 \Rightarrow P_u = 1$.

Attenzione, però. Dire che i vettori di stato sono ortogonali non ha nulla a che vedere con le direzioni spaziali. Lo spazio degli stati è un concetto matematico; le direzioni up e down dello spin magnetico non sono (generalmente) ortogonali nelle direzioni spaziali anche se i vettori di stato $\vert u \rangle$ e $\vert d \rangle$ lo sono.

Lungo le altre direzioni

Apparentemente, $\vert l \rangle$ e $\vert r \rangle$, così come $\vert i \rangle$ e $\vert o \rangle$ sono vettori distinti che misurano componenti diverse dello spin (rispettivamente lungo l’asse x e l’asse y.). Tuttavia, abbiamo verificato che lo spazio degli stati del sistema di spin è bidimensionale, il che vuol dire che tutti gli stati sono esprimibili come combinazione lineare di due vettori di base.

Ora, supponendo di scegliere come base $\vert l \rangle$ e $\vert r \rangle$, quello che otterremo è perfettamente identico a quanto fatto prima per la componente z; semplicemente sceglieremmo una base ruotata di 90° rispetto alla precedente e con essa andremmo a misurare $\sigma_x$. Nulla di interessante, qui.

Quello che, invece, è interessante è esprimere, ad esempio, lo stato (preparato) $\vert r \rangle$ in termini di $\vert u \rangle$ e $\vert d \rangle$:

\[\vert r \rangle = \alpha_u \vert u \rangle + \alpha_d \vert d \rangle\]

Se lo stato è stato effettivamente preparato in $\vert r \rangle$ e successivamente l’apparato di misurazione viene ruotato per misurare $\sigma_z$, la probabilità che il suo spin sia up o down è la stessa e, come sappiamo, vale $\frac{1}{2}$:

\[P_u = \alpha_u^* \alpha_u = \frac{1}{2}\] \[P_d = \alpha_d^* \alpha_d = \frac{1}{2}\]

Un vettore che soddisfa la precedente è (tralasciando il segno negativo di down, ininfluente):

\[\vert r \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert u \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert d \rangle\]

Per quanto riguarda left, analogamente se il sistema è stato preparato in $\vert l \rangle$, le probabilità in $\sigma_z$ sono ancora pari a $\frac{1}{2}$. Poiché $\vert l \rangle$ e $\vert r \rangle$ sono ortogonali

\[\langle r \vert l \rangle = 0\]

partiamo dall’espressione di $\vert r \rangle$ per trovare $\vert l \rangle$:

\[\vert l \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert u \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert d \rangle\]

Verifichiamo l’ortogonalità con il prodotto interno tra i coefficienti:

\[\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\\\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = 0\]

E, per finire, ripetiamo un simile ragionamento su in e out per ottenere i due stati:

\[\vert i \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert u \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert d \rangle\] \[\vert o \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert u \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert d \rangle\]

Anche questi due vettori sono ortogonali tra di loro: le coppie che abbiamo individuato, in definitiva, rappresentanto tre basi del sistema di singolo spin. Ricordiamocelo quando, per onorare la tradizione, sceglieremo sistematicamente la coppia up, down come base, nei prossimi articoli. Alla prossima!

Basi ortonormali in un sistema quantistico

Mon, 21 Oct 2019 00:00:00 +0000

Chi ha un minimo di dimestichezza con l’algebra lineare conosce certamente il concetto di base di uno spazio vettoriale come l’insieme massimo di vettori mutuamente ortogonali che generano lo spazio stesso e ne determinano la dimensionalità.

Ebbene, non c’è nulla in algebra che restringa tale concetto al fatto che i suoi vettori siano reali e individuino, di conseguenza, uno spazio reale (magari tridimensionale). È assolutamente sensato generalizzare il concetto di base al campo complesso, per individuare l’intero spazio degli stati di un sistema quantistico. Tutti gli stati interni che il sistema può assumere, per intenderci.

Basi ortonormali di un sistema complesso

In maniera del tutto analoga a quanto si fa in un sistema reale, si cominciano a prendere dei vettori con modulo unitario che siano tutti tra di loro mutuamente ortogonali (che, nel campo complesso, significa prendere due vettori il cui prodotto interno sia uguale a zero. Essendo tutti questi vettori di modulo unitario, l’informazione interessante che portano in dote è la direzione che individuano.

Ebbene, continuando a prendere vettori (direzioni) ortogonali, si arriverà ad un punto in cui non è più possibile prendere altri preservando la condizione di mutua ortogonalità e saremo costretti a fermarci: i vettori presi fino a questo momento individueranno una base ortonormale e il loro numero la dimensionalità dello spazio.

La cosa interessante (sempre in perfetta analogia con i vettori reali) è che tutti i vettori dello spazio sono esprimibili come combinazione lineare degli elementi della base.

Ora, tecnicamente parlando, l’algebra non prevede che i vettori di base siano ortonormali (modulo unitario, ortogonali tra di loro), tuttavia per una serie infinita di ragioni, in meccanica quantistica normalmente lo sono. Per semplificare i calcoli, più che altro.

Basi ortonormali e meccanica quantistica

Supponiamo di avere una base ortonormale complessa di dimensione N. Esprimiamola in notazione di Dirac utilizzando un ket: $\vert i \rangle$.

Tale base, per quanto detto, avrà $i_1 ... i_N$ componenti ortogonali tra di loro.

Consideriamo ora un generico vettore di stato A ed esprimiamolo come combinazione lineare con i componenti del vettore di base:

\[\vert A \rangle = \sum_{i} \alpha_i \vert i \rangle\]

con gli $\alpha_i$ coefficienti complessi chiamati componenti della base.

Effettuiamo ora il prodotto interno della precedente uguaglianza per un particolare vettore della base j scelto arbitrariamente tra i vettori $i_N$ della base.

\[\langle j \vert A \rangle = \sum_{i} \alpha_i \langle j \vert i \rangle\]

Poiché i vettori sono ortogonali tra di loro e hanno modulo unitario, l’equazione precedente vale 0 per qualsiasi coppia $\vert j \rangle \ne \vert i \rangle$ e vale 1 se $\vert j \rangle = \vert i \rangle$.

La sommatoria quindi collassa a un unico termine diverso da zero:

\[\langle j \vert A \rangle = \alpha_j\]

Quindi le componenti di un generico vettore A sulla base ortonormale i sono dati dal prodotto interno del vettore stesso con la base.

\[\vert A \rangle = \sum_i \vert i \rangle \langle i \vert A \rangle\]

Questa formulazione è essenziale per poter studiare la dinamica di un sistema, ovvero come lo stato di un sistema quantistico varia nel tempo e come è possibile studiarne l’evoluzione. Lo vedremo in uno dei prossimi articoli. Alla prossima!

Lo spazio degli stati di un sistema quantistico

Fri, 04 Oct 2019 00:00:00 +0000

A differenza di quanto avviene in un sistema classico, in un sistema quantistico lo spazio degli stati non è esprimibile attraverso la teoria degli insiemi (e la loro corrispondente logica combinatoria), ma per descriverlo è necessario costruire un opportuno modello matematico astratto.

A chi si avvicina per la prima volta allo studio della meccanica quantistica, l’adozione di un modello matematico apposito che descriva gli stati di un sistema è il primo scoglio da superare. Questo perché, mentre la logica insiemistica è molto intuitiva e adeguata a descrivere i sistemi macroscopici o classici - quelli che il nostro cervello è ben allenato a comprendere - quando ragioniamo su scala quantistica dobbiamo abbandonare la pretesa di poter comprendere intuitivamente i fenomeni e fidarci della matematica.

Non mi stancherò mai di ripetere che gli elettroni, e in generale tutte le particelle che agiscono su scala quantistica, non si comportano in modo strano.

Gli elettroni fanno quello che gli elettroni fanno. Ed è del tutto logico e normale (dal loro punto di vista).

Siamo noi a essere troppo grandi e troppo lenti per poterli studiare direttamente, ragion per cui abbiamo avuto bisogno di creare un modello matematico per studiarne il comportamento, mentre abbiamo avuto bisogno di un modello semplificato dell’Universo (la meccanica classica) per poter riportare i fenomeni che osserviamo direttamente a una scala che ci è più congeniale.

Ma non bisogna mai dimenticare che la realtà, è più che dimostrato, è decisamente quantistica.

Fatto questo atto di fede, andiamo al sodo.

Lo spazio vettoriale degli stati

Come detto, la teoria degli insiemi non è adatta per descrivere lo spazio degli stati di un sistema quantistico, né lo è la logica booleana. Questo sembra piuttosto assurdo, ma piaccia o meno al nostro cervello, è così che funziona realmente l’Universo.

In un sistema quantistico, lo spazio degli stati è, piuttosto, descritto come uno spazio vettoriale e la logica combinatoria tra i componenti di tale spazio è diversa dalla logica classica.

Non voglio scegliere nel dettaglio di cosa sia un vettore, do per scontato che lo sappiate già. È, però, importante segnalare che la nostra definizione di vettore va intesa in senso astratto. Non parliamo cioè, di vettori nello spazio reale (con le loro componenti {x, y, z, \} per capirci), ma di oggetti matematici astratti, di dimensione $n$ (anche infinita).

Di conseguenza, con spazio vettoriale intendiamo una collezione di oggetti matematici astratti costruiti in modo tale che le relazioni tra di essi modellino in modo adeguato le relazioni tra i componenti di un sistema quantistico.

Tanto per non farci mancare niente, non solo gli stati di un sistema quantistico sono dei vettori, ma sono anche dei vettori piuttosto interessanti: sono dei vettori generalmente complessi (nel senso che sono vettori le cui componenti sono nel dominio complesso, non che sono vettori complicati!).

La notazione di Dirac

Per descrivere un vettore di stato complesso $a$ nello spazio degli stati di un sistema quantistico si utilizza la seguente notazione (introdotta da Paul Dirac):

\[\vert a \rangle\]

Questo “oggetto” prende il nome di ket del vettore $a$.

Poiché si può dimostrare (non lo faremo) che lo spazio degli stati è uno spazio di Hilbert, esso è chiuso all’addizione. Se $a$ e $b$ sono due vettori di stato di un sistema quantistico, il vettore $c$ combinazione dei due è anche esso vettore di stato del medesimo sistema.

\[\vert a \rangle + \vert b \rangle = \vert c \rangle\]

Similmente, è possibile moltiplicare un ket per uno scalare (genericamente complesso):

\[z \vert a \rangle = \vert a^\prime \rangle\]

Anche le altre regole che definiscono gli spazi di Hilbert sono rispettate (esistenza di elemento neutro, commutatività, associatività, ecc.). Le riassumiamo tutte in un’unica proprietà, che lo spazio effettivamente rispetta: la linearità.

Possiamo lavorare anche con una rappresentazione più concreta dei ket, ovvero nella forma di vettori colonna, che ne esplicitano le componenti. Ad esempio, possiamo scrivere:

\[\vert A \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\\\ \alpha_2 \end{pmatrix}\]

dove i coefficienti complessi $\alpha$ rappresentano le componenti del vettore.

Come abbiamo detto per la linearità vale per la somma:

\[\vert A \rangle + \vert B \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\\\ \alpha_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \beta_1 \\\\ \beta_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 + \beta_1 \\\\ \alpha_2 + \beta_2 \end{pmatrix}\]

e per la moltiplicazione per uno scalare complesso:

\[z \vert A \rangle = z\begin{pmatrix} \alpha_1 \\\\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z\alpha_1 \\\\ z\alpha_2 \end{pmatrix}\]

Bra e Ket

Così come un numero complesso possiede il suo complesso coniugato, che corrisponde al numero originario con la parte immaginaria cambiata di segno, allo stesso modo un vettore ket possiede il suo corrispettivo avente come componenti i complessi coniugati del ket di partenza. Questo nuovo vettore è chiamato bra e si indica con:

\[\langle A \vert\]

È facile immaginare che ogni bra ha il suo ket corrispondente e viceversa. È importante, però, ricordare che bra e ket non condividono lo stesso spazio vettoriale. I bra, infatti, individuano uno spazio vettoriale distinto che prende il nome di spazio duale.

I bra godono delle stesse proprietà già viste per i ket, però bisogna fare alcune precisazioni.

Innanzitutto, senza eccessive sorprese, data la seguente relazione:

\[\vert A \rangle + \vert B \rangle\]

vale che

\[\langle A \vert + \langle B |\]

Ma il corrispondente bra della relazione in ket

\[z \vert A \rangle\]

\[\langle A \vert z^*\]

dove $z^*$ è il complesso coniugato di $z$.

Nella rappresentazione delle componenti in colonna, per rendere ben evidente che i due spazi vettoriali individuati dai vettori bra e ket, i primi si rappresentano come vettori riga. In altre parole, al ket di A

\[\vert A \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\\\ \alpha_2 \end{pmatrix}\]

corrisponde il bra:

\[\langle A \vert = \begin{pmatrix} \alpha^*_1 & \alpha^*_2 \end{pmatrix}\]

Questa rappresentazione duale suggerisce che i bra e i ket possono essere moltiplicati insieme attraverso una operazione che è l’equivalente complesso del prodotto scalare: il prodotto interno

Prodotto interno

Il prodotto interno è l’operazione analoga al prodotto scalare, ma avviene tra un bra e un ket. Se, quindi, il prodotto scalare è tra vettori reali, il prodotto interno è tra vettori complessi, pertanto può esserne visto come una generalizzazione.

In pratica, il prodotto interno è il prodotto di un vettore per il duale (il complesso coniugato) dell’altro vettore. Si indica con una notazione “a sandwitch”:

\[\langle B \vert A \rangle\]

Notate che i due vettori messi insieme fanno un bra-ket (“parentesi” in inglese): un modo mnemonico molto utile per non confondersi tra spazio e spazio duale!

Le regole del prodotto interno sono abbastanza facili da derivare. Per esempio, godono di linearità:

\[\langle B \vert ( | A \rangle + \vert B \rangle) = \langle C \vert A \rangle + \langle C \vert B \rangle\]

Ma non della proprietà commutativa, ovvero in genere:

\[\langle B \vert A \rangle \ne \langle A \vert B \rangle\]

ma vale la commutazione complessa:

\[\langle A \vert B \rangle = \langle B \vert A \rangle^*\]

In pratica, scambiare bra con ket equivale a prendere il complesso coniugato.

Supponiamo di effettuare il prodotto interno di un vettore per se stesso. Per la commutazione complessa avremo

\[\langle A \vert A \rangle = \langle A \vert A \rangle^*\]

che è un numero reale perché solo nei numeri reali il complesso coincide con il coniugato.

Inoltre,

\[\begin{pmatrix} \alpha^*_1 & \alpha^*_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\\\ \alpha_2 \end{pmatrix} = \alpha^*_1\alpha_1 + \alpha^*_2\alpha_2\]

non solo è reale, ma è anche positivo ed è il quadrato della lunghezza del vettore. Possiamo generalizzare e dire che vettori complessi hanno lunghezza reale.

Per finire una nota sull’ortogonalità: due vettori complessi sono ortogonali se il loro prodotto interno à zero.

\[\langle A \vert B \rangle = 0\]

L’ortogonalità si mantiene nello spazio duale.

In analogia con gli spazi reali, il massimo numero di vettori mutualmente ortogonali definisce la dimensionalità dello spazio (e la dimensione delle sue basi ortonormali, che vedremo nel prossimo articolo).

L'effetto fotoelettrico

Tue, 01 Oct 2019 00:00:00 +0000

Agli albori della meccanica quantistica, agli inizi del XX secolo, Planck contribuì con una importante osservazione relativa alla radiazione di corpo nero, ovvero di un oggetto reale che, a temperatura $T$, assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente senza rifletterla (da cui, appunto, nero). Esso, secondo l’interpretazione classica e per via della conservazione dell’energia, re-irradia tutta l’energia assorbita e, secondo Planck, lo fa in uno spettro di emissione quantizzato. In particolare, la radiazione emessa ha energia $h\nu$., con $h = 6,626 \cdot 10^{-34} J \cdot s$ la costante di Planck e $\nu$ la frequenza della radiazione emessa.

Einstein partì da queste considerazioni per spiegare un fenomeno già noto all’epoca (siamo nel 1905) relativo all’assorbimento di una radiazione elettromagnetica di frequenza $\nu$ da parte di un campione metallico con conseguente emissione di elettroni. L’effetto fotoelettrico, appunto.

Il fenomeno

Supponiamo, come detto, che una radiazione elettromagnetica monocromatica di frequenza $\nu$ incida su un campione metallico di temperatura $T$ nel vuoto. Gli elettroni del metallo assorbiranno l’energia della radiazione elettromagnetica ed alcuni di essi ne assorbiranno abbastanza da saltar via dalla loro orbita intorno ai rispettivi nuclei atomici ed essere espulsi dal metallo. Questi elettroni in fuga possono essere rilevati da un opportuno apparato posto nelle vicinanze del metallo formato da un potenziale e un circuito in cui l’elettrone in movimento induce una corrente; in questo modo l’ energia degli elettroni emessi può essere misurata.

Andando a misurare la massima energia $E_m$ degli elettroni espulsi si può osservare che dipende non dall’intensità della radiazione incidente, come ci saremmo aspettati dalla fisica classica, bensì dalla frequenza $\nu$ della radiazione stessa. Al di sotto di una frequenza di soglia $\nu_0$, inoltre, non vi è emissione alcuna di elettroni. L’intensità della radiazione influisce, invece, solo nella quantità di elettroni emessi.

La dipendenza tra la frequenza $\nu$ e l’energia $E_m$ è lineare con un coefficiente pari alla costante di Planck. Più nel dettaglio, vige la relazione:

\[E_m = h\nu - q\Phi\]

con $q$ la carica dell’elettrone e $\Phi$ un potenziale (misurato in Volt) dipendente dalle caratteristiche fisiche del metallo. $E_m$ rappresenta l’energia minima necessaria all’elettrone per essere espulso dal metallo e viene detto lavoro di estrazione.

Detto in altri termini, l’elettrone assorbe una energia $h\nu$ dalla radiazione elettromagnetica incidente e perde una energia $q\Phi$ per poter essere espulso dal metallo, il che risulta in una energia netta posseduta dall’elettrone emesso pari a $E_m$.

Più spesso, in luogo della frequenza si utilizza una formulazione avente come termine la pulsazione e chiamata Relazione di Planck

\[E = \frac{h(2\pi\nu)}{2\pi } = \hbar\omega\]

Questo fenomeno mostra la natura quantizzata della radiazione elettromagnetica, trasferita (sarebbe più corretto dire mediata) da particelle discrete chiamate fotoni.

L’esperimento della doppia fenditura ha, successivamente, dimostrato la doppia natura (ondulatoria e corpuscolare) dei fotoni, mentre lo stesso esperimento effettuato con, ad esempio, dei raggi catodici ha consentito di stabilire che anche le particelle cosiddette di materia, come gli elettroni, hanno una doppia natura. In particolare, Louis de Broglie ipotizzò che una particella avente momento $p = mv$ abbia una lunghezza d’onda di

\[\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv}\]

e, quindi,

\[p = \frac{h}{\lambda} = \frac{h}{2\pi} = \frac{\hbar}{\lambda} = \frac{\hbar}{k}\]

con $k$ il numero d’onda.

Queste relazioni, insieme alla relazione di Planck, connettono (in un sistema a scala quantistica, ovviamente) la natura ondulatoria dei fenomeni (con grandezze quali frequenza e lunghezza d’onda) con la descrizione delle particelle dal punto di vista corpuscolare (dotati di energia e momento).

È molto importante notare che la relazione esistente tra frequenza e lunghezza d’onda, chiamata relazione di dispersione, non è la stessa per tutte le particelle elementari.

Per esempio, nei fotoni si ha:

\[\nu = \frac{c}{\lambda} \Rightarrow E = \hbar\omega = \hbar(2\pi\nu) = \hbar2\pi(\frac{c}{\lambda}) = \hbar ck = cp\]

ma per gli elettroni, tanto per dire, la funzione $E(k)$ è diversa. Questa proprietà è essenziale nello studio dei semiconduttori.

Le conclusioni di Einstein

In definitiva, nella radiazione elettromagnetica, l’energia non è distribuita uniformemente e con continuità sull’intero fronte d’onda, ma concentrata in singoli pacchetti discreti (o quanti) di energia - i fotoni - che interagiscono una alla volta con i singoli elettroni a cui cedono la loro energia. Questo, a patto che tale energia, ottenuta tramite la relazione di Planck, sia pari almeno al lavoro di estrazione necessario per rompere il legame elettrostatico che lega gli elettroni ai rispettivi nuclei.

Aumentando l’intensità della radiazione elettromagnetica, ovvero il numero di fotoni con la stessa lunghezza d’onda che vanno a incidere sul metallo non andrà ad aumentare l’energia cinetica degli elettroni emessi, ma il loro numero.

Se l’energia posseduta dai fotoni non è sufficiente per vincere il lavoro di estrazione, nessun elettrone è emesso dal metallo e l’effetto fotoelettrico non è osservato, indipendentemente da quanto intensta è la radiazione che lo ha illuminato.

Questo fenomeno, condermato sperimentalmente, contraddice apertamente quanto previsto dalla fisica classica attravero le equazioni di Maxwell, secondo cui l’intera onda interagisce nel suo complesso con tutti gli elettroni del metallo.

Questa diretta conseguenza della quantizzazione dell’energia, per cui fotoni ed elettroni interagiscono uno per uno, portò Einstein a vincere il suo unico premio Nobel nel 1921.

Ironicamente, il grande fisico tedesco non vinse mai l’ambito premio per il lavoro che lo avrebbe consegnato alla storia, quello sulla Relatività Generale, ma solo per questo suo contributo che, di fatto, diede il via alla meccanica quantistica. Una teoria per alcuni aspetti della quale egli nutrì molte riserve, per non dire profonda avversione, durante tutta la sua vita.

Logica classica e logica quantistica

Wed, 18 Sep 2019 00:00:00 +0000

Lo spazio degli stati di un sistema classico è rappresentato dai componenti di un insieme. Lo spazio degli stati del sistema lancio della moneta, ad esempio, è costituito dai due elementi {Testa, Croce}, che rappresentano anche i due unici, possibili, valori della variabile misurata in un esperimento. Non sono possibili valori intermedi, così come il sistema non può trovarsi in una stato diverso da Testa o da Croce, in un dato momento.

La logica della teoria degli insiemi è l’arcinota logica booleana, che si basa sul concetto che una condizione di un sistema è esprimibile mediante una combinazione di proposizioni, ognuna rappresentata da una propria tabella di verità che dipende dalle caratteristiche del sistema studiato. Facciamo un esempio.

Supponiamo di avere il sistema Lancio di un dado. Questo sistema può trovarsi in uno di sei possibili stati:

\[D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}\]

Una possibile proposizione potrebbe essere: “Tutti i risultati pari”, che rappresenta un sottoinsieme dell’insieme D.

\[P = {2, 4, 6}\]

Un’altra proposizione potrebbe essere “Tutti i risultati maggiori di tre”:

\[T = {4, 5, 6}\]

Logica classica

La logica formale booleana consente la combinazione di più proposizioni attraverso gli operatori insiemistici di complemento, unione e intersezione. Per esempio la proposizione “Tutti i risultati pari e maggiori di tre”, ovvero l’operazione di AND logico, può essere espresso come operazione di intersezione tra P e T, ovvero:

\[A = P \cap T\]

Allo stesso modo valgono le operazioni di OR, di NOT e tutte le possibili declinazioni (NAND, XOR…). Ebbene, in un sistema classico vale la commutatività delle proposizioni. Siano A e B due proposizioni (insiemi), allora:

\[P \cap T = T \cap P\]

Nella logica classica, non è importante l’ordine con cui sono valutare le proposizioni. La tabella di verità dell’espressione risultante sarà sempre definita in modo non ambiguo.

Logica quantistica

Quanto detto non è, invece, sempre vero in un sistema quantistico e questo per via del principio di indeterminazione. Sugli operatori unari possiamo essere abbastanza tranquilli:

\[\sigma_z = 1 \implies NOT(\sigma_z) = -1\]

Per ciò che concerne gli operatori binari la questione è più complessa. Supponiamo di codificare due proposizioni booleane attraverso due grandezze quantistiche che, come sappiamo, possono assumere solo due valori e supponiamo che tali proposizione siano vere quando le grandezze assumono valore positivo:

\[A: \sigma_z = 1\] \[B: \sigma_x = 1\]

Supponiamo che il sistema sia stato preparato nello stato di up e di voler misurare l’OR logico.

\[A OR B = ?\]

Supponiamo di iniziare la verifica di A. Poiché, per ipotesi, il sistema è nello stato di up, la misura di $\sigma_z$ darà come valore misurato 1, il che è sufficiente per verificare la veridicità di A e, quindi, dell’intera espressione (A OR B è vera se A oppure B sono vere). Possiamo fermarci qui.

Ripetiamo l’esperimento, verificando stavolta prima B. Poiché per ipotesi il sistema è nello stato di up, avremo un valore $\sigma_x$ che sarà il risultato di una distribuzione statistica avente il 50% di probabilità di valere 1. Quindi, la sola misura di B non è sufficiente per verificare l’espressione A OR B e bisogna verificare anche A.

Ma la misura di B ha distrutto ogni informazione relativa a $\sigma_z$, lasciando il sistema in uno stato compatibile con la misura perfettamente definita per $\sigma_x$ (che si sia ottenuto 1 o -1). Di conseguenza, $\sigma_z$ avrà il 50% di probabilità di valere 1, così come il 50% di probabilità di valere -1.

In definitiva, la proposizione $B OR A$ ha il 25% di possibilità di essere falsa, mentre $A OR B$ è certamente vera.

In un sistema quantistico, l’operatore OR non collega gli operandi in modo simmetrico. È la rappresentazione logica del principio di indeterminazione.

Da notare che non tutte le grandezze si comportano in questo modo. In un sistema quantistico esistono coppie di grandezze che possono essere misurate contemporaneamente, per restituire una tabella di verità di una proposizione perfettamente definita, come in un sistema classico. Queste grandezze hanno delle proprietà che possono essere desunte dalle caratteristiche del sistema, ovvero dal suo spazio degli stati.

Come vedremo, le due grandezze utilizzate in questo esempio, ovvero le componenti dello spin rispettivamente lungo la direzione z e lungo la direzione x, sono due grandezze che, per l’appunto, non possono essere misurate contemporaneamente e per le quali vige il principio di indeterminazione. Che, a sua volta, causa la componente di aleatorietà nella valutazione delle espressioni logiche.

Esperimenti ripetuti e preparazione di un sistema

Fri, 13 Sep 2019 00:00:00 +0000

Abbiamo detto che un esperimento in un sistema quantistico, il cui stato è modellabile con un vettore dotato di modulo, direzione e verso, la misurazione di una grandezza, per esempio la componente dello spin lungo una certa direzione $\sigma$ , ci restituirà, ostinatamente, solo valori di +1 o -1, peraltro in modo imprevedibile.

A parte che abbiamo irrimediabilmente perduto il determinismo delle meccanica classica, il vettore di stato di $\sigma$ deve essere un vettore ben strano.

In realtà non è il vettore a essere strano, è il sistema (tanto per cambiare) a esserlo. In particolare, un sistema quantistico può trovarsi contemporaneamente in una sovrapposizione di stati (“un po’ testa e un po’ croce”). Ma di questo ci occuperemo più avanti.

In questo breve articolo faremo, invece, pace con la fisica classica. La fisica classica, lo abbiamo già detto, non è sbagliata. È solo un po’ imprecisa.

Distribuzione dei risultati di esperimenti ripetuti

Abbiamo detto che gli esperimenti fisici in meccanica quantistica sono confermabili.

Supponiamo di misurare una grandezza legata a un oggetto di scala quantistica, per esempio uno spin che sappiamo essere nello stato di up. Qualcuno o qualcosa, non importa cosa, lo ha preparato per noi in questo stato; per adesso ci basta sapere questo. Effettuiamo una misurazione con un apparato sdraiato su di un lato, ovvero misuriamo la componente $\sigma_x$ di suddetto spin sull’asse $x$.

Secondo le leggi della meccanica classica, avremmo dovuto misurare un valore di zero. E, invece, misuriamo un valore di +1 o -1, in modo del tutto imprevedibile.

Se continuiamo a misurare, per la confermabilità degli esperimenti, continueremo a ottenere lo stesso valore misurato. Se la prima volta avevamo misurato +1, misureremo sempre +1. Se la prima volta abbiamo misurato -1, questo è il valore che continueremo incessantemente a misurare.

Supponiamo ora di avere non uno, ma una collezione intera di spin indipendenti tra di loro, tutti preparati nello stato up, e misuriamo $\sigma_x$. Cosa otteniamo?

Ancora una volta, una serie di +1 e di -1 (uno per ogni spin della collezione). Ma con una particolarità: la media di tutti i valori misurati sarà 0, in perfetto accordo con la meccanica classica.

Ripetiamo, ora, l’esperimento orientando l’apparato in una direzione arbitraria che formi un angolo $\theta$ con l’asse $z$ (l’asse lungo up, per intenderci).

Tanto per cambiare, otteniamo una serie di valori misurati di +1 e -1, con la media dei valori misurati di $\cos(\theta)$, nuovamente in accordo con la meccanica classica.

Quindi, sì, in un sistema quantistico non possiamo più contare sul determinismo dei valori misurati, ma le grandezze seguono una distribuzione statistica che è coerente con i risultati ottenibili applicando le leggi della meccanica classica.

Ci sono diverse interpretazioni per cui la Meccanica Quantistica sia, sembrerebbe, non deterministica. Einstein, ad esempio, era convinto di una certa incompletezza nella teoria e che ci fossero delle variabili nascoste del sistema che, una volta scoperte e considerate avrebbero portato a formulare equazioni perfettamente deterministiche.

L’interpretazione oggi, però, universalmente più accettata è che la teoria sia completa e che il suo indeterminismo riflette quello del tessuto stesso della realtà. La teoria ci permette di conoscere tutto ciò e solo ciò che è possibile conoscere di un sistema, che è ben lungi (ma non casualmente) dall’essere la totalità dell’informazione contenuta in esso, come invece accade per i sistemi classici.

Ma come si dice: piuttosto che niente, è meglio il piuttosto.

Preparare un sistema quantistico

Adesso vi chiedo un po’ di elasticità logica.

Fino ad ora abbiamo detto che qualcuno o qualcosa aveva preparato per noi il sistema (costruito da un singolo spin) in uno stato ben preciso, lo stato up, senza però dirci in quale stato lo aveva lasciato. La misura, perfettamente priva di ambiguità, della componente $\sigma_z$ ci ha consentito di conoscere tale stato, che esperimenti successivi hanno confermato. Misurare ripetutamente $\sigma_z = +1$, dopotutto, è sufficiente per affermare che lo stato dello spin sia up.

D’altra parte, anche una misura dela componente generica $\sigma_\theta$ ottenuta con l’apparato ruotato di un angolo $\theta$ ci ha fornito una misura (+1 o -1) perfettamente non ambigua, confermata da misure successive.

Ma insomma, abbiamo forzato il sistema ad assumere una certa configurazione (stato) o ci siamo limitati a misurare una grandezza?

La domanda è mal posta: poiché una misura, come abbiamo già detto, infuenza il sistema, l’una implica l’altra. Anzi, in un sistema quantistico, misurare una grandezza e preparare il sistema sono esattamente la stessa cosa.

Meglio essere più chiari con un esempio.

Supponiamo di avere uno spin e di non sapere assolutamente il suo stato. Prendiamo il nostro solito apparato, orientato in una direzione arbitraria e misuriamo la componente dello spin $\sigma_\theta$ lungo quella direzione. Supponiamo di leggere +1.

Sappiamo che altri valori (diversi da +1 o -1) non sono possibili. E, d’altra parte, i singoli valori misurati sono grandezze reali, non sono distribuzioni statistiche. E le misure successive, lo abbiamo detto mille volte, confermano la prima.

Questo vuol dire che il vettore di spin è orientato lungo la direzione dell’apparato (condizione sufficiente ecc. ecc.). È una coincidenza? Per una serie incredibile di circostanze, lo spin scelto rigorosamente a caso era orientato proprio nella direzione in cui abbiamo disposto l’apparato?

Certo che no! E se proprio vogliamo essere sicuri che non sia un incredibile scherzo del destino, ruotiamo l’apparato di una manciata di gradi in una direzione arbitraria e ripetiamo l’esperimento. Otterremo, tanto per cambiare, +1 o -1.

La misurazione lungo $\sigma_\theta$ ha preparato il sistema in uno stato, ovvero ha lasciato il sistema in uno stato corrispondente al valore misurato osservato, diverso, in generale, dallo stato in cui lo ha trovato.

Non importa cosa avevamo prima; non possiamo saperlo, dato che è lo stato che il sistema aveva prima della misura. Quello che importa è ciò che abbiamo adesso, con il sistema che si trova in un nuovo stato. Quello corrispondente al valore misurato in uscita.

A questo punto è necessario introdurre il concetto di spazio degli stati per poter costruire un modello di tutte le condizioni possibili in cui può trovarsi un sistema e vedere che relazioni ci sono con le uscite (i valori misurati).

E da qui in poi, si comincia con la matematica.