Chi ha un minimo di dimestichezza con l’algebra lineare conosce certamente il concetto di base di uno spazio vettoriale come l’insieme massimo di vettori mutuamente ortogonali che generano lo spazio stesso e ne determinano la dimensionalità.
Ebbene, non c’è nulla in algebra che restringa tale concetto al fatto che i suoi vettori siano reali e individuino, di conseguenza, uno spazio reale (magari tridimensionale). È assolutamente sensato generalizzare il concetto di base al campo complesso, per individuare l’intero spazio degli stati di un sistema quantistico. Tutti gli stati interni che il sistema può assumere, per intenderci.
Basi ortonormali di un sistema complesso
In maniera del tutto analoga a quanto si fa in un sistema reale, si cominciano a prendere dei vettori con modulo unitario che siano tutti tra di loro mutuamente ortogonali (che, nel campo complesso, significa prendere due vettori il cui prodotto interno sia uguale a zero. Essendo tutti questi vettori di modulo unitario, l’informazione interessante che portano in dote è la direzione che individuano.
Ebbene, continuando a prendere vettori (direzioni) ortogonali, si arriverà ad un punto in cui non è più possibile prendere altri preservando la condizione di mutua ortogonalità e saremo costretti a fermarci: i vettori presi fino a questo momento individueranno una base ortonormale e il loro numero la dimensionalità dello spazio.
La cosa interessante (sempre in perfetta analogia con i vettori reali) è che tutti i vettori dello spazio sono esprimibili come combinazione lineare degli elementi della base.
Ora, tecnicamente parlando, l’algebra non prevede che i vettori di base siano ortonormali (modulo unitario, ortogonali tra di loro), tuttavia per una serie infinita di ragioni, in meccanica quantistica normalmente lo sono. Per semplificare i calcoli, più che altro.
Basi ortonormali e meccanica quantistica
Supponiamo di avere una base ortonormale complessa di dimensione N. Esprimiamola in notazione di Dirac utilizzando un ket: \(\vert i \rangle\).
Tale base, per quanto detto, avrà \(i_1 ... i_N\) componenti ortogonali tra di loro.
Consideriamo ora un generico vettore di stato A ed esprimiamolo come combinazione lineare con i componenti del vettore di base:
\[\vert A \rangle = \sum_{i} \alpha_i \vert i \rangle\]con gli \(\alpha_i\) coefficienti complessi chiamati componenti della base.
Effettuiamo ora il prodotto interno della precedente uguaglianza per un particolare vettore della base j scelto arbitrariamente tra i vettori \(i_N\) della base.
\[\langle j \vert A \rangle = \sum_{i} \alpha_i \langle j \vert i \rangle\]Poiché i vettori sono ortogonali tra di loro e hanno modulo unitario, l’equazione precedente vale 0 per qualsiasi coppia \(\vert j \rangle \ne \vert i \rangle\) e vale 1 se \(\vert j \rangle = \vert i \rangle\).
La sommatoria quindi collassa a un unico termine diverso da zero:
\[\langle j \vert A \rangle = \alpha_j\]Quindi le componenti di un generico vettore A sulla base ortonormale i sono dati dal prodotto interno del vettore stesso con la base.
\[\vert A \rangle = \sum_i \vert i \rangle \langle i \vert A \rangle\]Questa formulazione è essenziale per poter studiare la dinamica di un sistema, ovvero come lo stato di un sistema quantistico varia nel tempo e come è possibile studiarne l’evoluzione. Lo vedremo in uno dei prossimi articoli. Alla prossima!