Abbiamo detto che un esperimento in un sistema quantistico, il cui stato è modellabile con un vettore dotato di modulo, direzione e verso, la misurazione di una grandezza, per esempio la componente dello spin lungo una certa direzione \(\sigma\) , ci restituirà, ostinatamente, solo valori di +1 o -1, peraltro in modo imprevedibile.

A parte che abbiamo irrimediabilmente perduto il determinismo delle meccanica classica, il vettore di stato di \(\sigma\) deve essere un vettore ben strano.

In realtà non è il vettore a essere strano, è il sistema (tanto per cambiare) a esserlo. In particolare, un sistema quantistico può trovarsi contemporaneamente in una sovrapposizione di stati (“un po’ testa e un po’ croce”). Ma di questo ci occuperemo più avanti.

In questo breve articolo faremo, invece, pace con la fisica classica. La fisica classica, lo abbiamo già detto, non è sbagliata. È solo un po’ imprecisa.

Distribuzione dei risultati di esperimenti ripetuti

Abbiamo detto che gli esperimenti fisici in meccanica quantistica sono confermabili.

Supponiamo di misurare una grandezza legata a un oggetto di scala quantistica, per esempio uno spin che sappiamo essere nello stato di up. Qualcuno o qualcosa, non importa cosa, lo ha preparato per noi in questo stato; per adesso ci basta sapere questo. Effettuiamo una misurazione con un apparato sdraiato su di un lato, ovvero misuriamo la componente \(\sigma_x\) di suddetto spin sull’asse \(x\).

Secondo le leggi della meccanica classica, avremmo dovuto misurare un valore di zero. E, invece, misuriamo un valore di +1 o -1, in modo del tutto imprevedibile.

Se continuiamo a misurare, per la confermabilità degli esperimenti, continueremo a ottenere lo stesso valore misurato. Se la prima volta avevamo misurato +1, misureremo sempre +1. Se la prima volta abbiamo misurato -1, questo è il valore che continueremo incessantemente a misurare.

Supponiamo ora di avere non uno, ma una collezione intera di spin indipendenti tra di loro, tutti preparati nello stato up, e misuriamo \(\sigma_x\). Cosa otteniamo?

Ancora una volta, una serie di +1 e di -1 (uno per ogni spin della collezione). Ma con una particolarità: la media di tutti i valori misurati sarà 0, in perfetto accordo con la meccanica classica.

Ripetiamo, ora, l’esperimento orientando l’apparato in una direzione arbitraria che formi un angolo \(\theta\) con l’asse \(z\) (l’asse lungo up, per intenderci).

Tanto per cambiare, otteniamo una serie di valori misurati di +1 e -1, con la media dei valori misurati di \(\cos(\theta)\), nuovamente in accordo con la meccanica classica.

Quindi, sì, in un sistema quantistico non possiamo più contare sul determinismo dei valori misurati, ma le grandezze seguono una distribuzione statistica che è coerente con i risultati ottenibili applicando le leggi della meccanica classica.

Ci sono diverse interpretazioni per cui la Meccanica Quantistica sia, sembrerebbe, non deterministica. Einstein, ad esempio, era convinto di una certa incompletezza nella teoria e che ci fossero delle variabili nascoste del sistema che, una volta scoperte e considerate avrebbero portato a formulare equazioni perfettamente deterministiche.

L’interpretazione oggi, però, universalmente più accettata è che la teoria sia completa e che il suo indeterminismo riflette quello del tessuto stesso della realtà. La teoria ci permette di conoscere tutto ciò e solo ciò che è possibile conoscere di un sistema, che è ben lungi (ma non casualmente) dall’essere la totalità dell’informazione contenuta in esso, come invece accade per i sistemi classici.

Ma come si dice: piuttosto che niente, è meglio il piuttosto.

Preparare un sistema quantistico

Adesso vi chiedo un po’ di elasticità logica.

Fino ad ora abbiamo detto che qualcuno o qualcosa aveva preparato per noi il sistema (costruito da un singolo spin) in uno stato ben preciso, lo stato up, senza però dirci in quale stato lo aveva lasciato. La misura, perfettamente priva di ambiguità, della componente \(\sigma_z\) ci ha consentito di conoscere tale stato, che esperimenti successivi hanno confermato. Misurare ripetutamente \(\sigma_z = +1\), dopotutto, è sufficiente per affermare che lo stato dello spin sia up.

D’altra parte, anche una misura dela componente generica \(\sigma_\theta\) ottenuta con l’apparato ruotato di un angolo \(\theta\) ci ha fornito una misura (+1 o -1) perfettamente non ambigua, confermata da misure successive.

Ma insomma, abbiamo forzato il sistema ad assumere una certa configurazione (stato) o ci siamo limitati a misurare una grandezza?

La domanda è mal posta: poiché una misura, come abbiamo già detto, infuenza il sistema, l’una implica l’altra. Anzi, in un sistema quantistico, misurare una grandezza e preparare il sistema sono esattamente la stessa cosa.

Meglio essere più chiari con un esempio.

Supponiamo di avere uno spin e di non sapere assolutamente il suo stato. Prendiamo il nostro solito apparato, orientato in una direzione arbitraria e misuriamo la componente dello spin \(\sigma_\theta\) lungo quella direzione. Supponiamo di leggere +1.

Sappiamo che altri valori (diversi da +1 o -1) non sono possibili. E, d’altra parte, i singoli valori misurati sono grandezze reali, non sono distribuzioni statistiche. E le misure successive, lo abbiamo detto mille volte, confermano la prima.

Questo vuol dire che il vettore di spin è orientato lungo la direzione dell’apparato (condizione sufficiente ecc. ecc.). È una coincidenza? Per una serie incredibile di circostanze, lo spin scelto rigorosamente a caso era orientato proprio nella direzione in cui abbiamo disposto l’apparato?

Certo che no! E se proprio vogliamo essere sicuri che non sia un incredibile scherzo del destino, ruotiamo l’apparato di una manciata di gradi in una direzione arbitraria e ripetiamo l’esperimento. Otterremo, tanto per cambiare, +1 o -1.

La misurazione lungo \(\sigma_\theta\) ha preparato il sistema in uno stato, ovvero ha lasciato il sistema in uno stato corrispondente al valore misurato osservato, diverso, in generale, dallo stato in cui lo ha trovato.

Non importa cosa avevamo prima; non possiamo saperlo, dato che è lo stato che il sistema aveva prima della misura. Quello che importa è ciò che abbiamo adesso, con il sistema che si trova in un nuovo stato. Quello corrispondente al valore misurato in uscita.

A questo punto è necessario introdurre il concetto di spazio degli stati per poter costruire un modello di tutte le condizioni possibili in cui può trovarsi un sistema e vedere che relazioni ci sono con le uscite (i valori misurati).

E da qui in poi, si comincia con la matematica.